Как разложить число на простые множители. Разложить числа на множители


Разложение числа на простые множители онлайн

Любое натуральное число n > 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Это представление называется разложением числа n на простые множители.

Натуральное число n называется делителем целого числа m, если для подходящего целого числа k верно равенство m = n \cdot k. В этом случае говорят, что mделится на n или что число mкратно числу n.

Простым числом называют натуральное число p \ge 2, делящееся только на себя и на единицу. Составным числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число m, не равное 1, имеет как минимум два делителя: 1 и |m|). Например, числа 2,3,5,7,11 – простые, а числа 9 = 3\cdot 3,26 = 2\cdot 13 – составные.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Данная программа раскладывает число в произведение простых множителей онлайн. Разложить число на множители онлайн с её помощью очень просто.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком (в две колонки). Делается это так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

  • Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
  • Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом.
  • Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2, то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число 21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3, 21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители происходит очень медленно.

umath.ru

Разложение чисел на простые множители

Онлайн-калькулятор "Разложение числа на простые множители" позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку "Вычислить". Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.

Введите число:

Вычислить

Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.

Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.

Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.

Таблица простых чисел до 1000

23571113
171923293137
414347535961
6771 73 79 83 89
97 101103107109 113
127 131137139149151
157163 167173179 181
191 193197199211223
227229 233239241251
257 263269271277281
283293 307311313317
331337347 349353359
367373379 383389397
401 409419421431433
439443 449457461463
467479 487491499503
509521523541547557
563569 571577587593
599601607 613617619
631641 643647653659
661673677683691701
709719 727733739743
751 757761769773787
797809811821823827
829839853 857859863
877 881883887907911
919929 937941947953
967 971977983991997

calc.by

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА на простые множители, таблица простых чисел

Разложение числа на простые множители – это часто встречающаяся задача, которую нужно уметь решать. Разложение на простые множители может потребоваться при нахождении НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), а также при проверке, являются ли числа взаимно простыми.

Все числа можно разделить на два основных типа:

  • Простое число – это число, которое делится только на само себя и на 1.
  • Составное число – это число, которое имеет другие делители, кроме самого себя и 1.

Чтобы проверить, является ли число простым или составным, можно воспользоваться специальной таблицей простых чисел.

Таблица простых чисел

Для удобства вычислений все простые числа были собраны в таблицу. Ниже приведена таблица простых чисел из диапазона от 1 до 1000.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Разложение на простые множители

Для разложения числа на простые множители можно использовать таблицу простых чисел и признаки делимости чисел. До тех пор, пока число не станет равно 1, нужно подбирать простое число, на которое делится текущее, и выполнять деление. Если не удалось подобрать ни одного множителя, не равного 1 и самому числу, то число простое. Рассмотрим, как это делается на примере.

Пример:

Разложить на простые множители число 63140.

Решение:

Чтобы не потерять множители, будем записывать их в столбик, как показано на картинке. Такое решение является достаточно компактным и удобным. Рассмотрим его подробнее.

Число 63140 четное, поэтому оно делится на 2:

Число 31570 четное, поэтому оно делится на 2:

Число 15785 нечетное, поэтому на 2 не делится. Сумма цифр числа

не делится на 3, поэтому число 15785 на 3 не делится. Зато оно заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5:

Число 3157 заканчивается на 7, поэтому оно не делится на 5. Зато число 3157 делится на 7:

Число 451 больше на 7 не делится. Поэтому проверяем следующее простое число – 11: чтобы число 451 делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр на нечетных местах была равна сумме цифр на четных местах:

Поэтому 451 делится на 11:

Число 41 является простым, поэтому следующий множитель равен 41.

Таким образом, число 63140 было разложено на множители:

63140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 41

worksbase.ru

Разложение составных чисел на простые множители

Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.

Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.

Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

  • Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
  • — записать его слева от вертикальной черты;
  • — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
  • — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
  • — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
  • — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
  • — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
  • — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.

12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;1 421 = 7 * 7 * 29;8 = 2 * 2 * 2.

Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.

Запись опубликована в рубрике Математика с метками множитель, разложение, числа. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

shkolo.ru

Разложение числа на простые множители

Вам также может пригодиться калькулятор разложения чисел на простые множители.

Основная теорема арифметики гласит:

Любое натуральное число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Как разложить число на множители?

Вот последовательность действий при разложении числа на простые множители:

  • Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли наше число на 2.
  • Если делится, то выписываем 2 в столбец с простыми множителями и делим наше число на 2 (получаем новое число). Далее снова проверяем, делится ли новое число на 2.
  • Если не делится, то переходим к следующему простому числу — 3.

Эти три шага выполняются до тех пор, пока наше число не окажется равным 1.

Далее рассмотрим несколько примеров.

Разложить на простые множители число 54

  • Число 65 не делится на 2 (так как оно оканчивается на нечётное число 5).
  • 65 не делится на 3 (сумма цифр равна 11, а 11 не делится на 3).
  • Зато 65 делится на 5. Выписываем число 5 в правую колонку. 65 : 5 = 13. Теперь проверять мы будем уже число 13.
  • Число 13 — простое, его можно разделить только на 13. Выписываем в правую колонку 13, в левую — 1. Наше разложение закончено.

Разложить на простые множители число 65

  • Число 54 делится на 2. Выписываем 2 в правый столбик. 54:2=27. Записываем 27 в левый столбец.
  • 27 не делится на 2, зато делится на 3. Выписываем 3 в правый столбик. 27 : 3 = 9. Число 9 записываем в левую колонку.
  • 9 делится на 3. Снова выписываем 3 в правый столбик. 9:3 = 3. В левый выписываем 3.
  • Число 3 делится на 3, 3:3 = 1. В правый столбик выписываем 3, в левый — 1. Разложение закончено.

Разложить на простые множители число 99

  • Число 99 не делится на 2, зато делится на 3. 99:3 = 33.
  • 33 также делится на 3. 33:3 = 11.
  • Число 11 — простое, поэтому разложение завершено.

Разложить на простые множители число 162

Разложить на простые множители число 1500

umath.ru

разложение чисел на простые множители

 

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

 Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители. 

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

378|2189|3  63|3  21|3    7|7    1|

  • Следовательно,  число 378=2*2*3*3*3*7.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Признаки делимости на 3 и на 9: рассмотрим на примере и выведем правило Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspНаибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Как разложить число на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.

Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.

Примеры.  1) Разложить число 1400 на простые множители.

razlojenienamn

1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.

 

 

Это же число можно разложить на простые множители иначе:

razlojenienamnojiteli  1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.

Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.

Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.

 

2) Разложить число 1620 на простые множители.

razlojenie1

Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.

www.for6cl.uznateshe.ru